Unschärferelationen

1. Einleitung

   
   

   Unschärferelation, wer hat nicht schon davon gehört?  Was besagt sie? Viele Veröffentlichungen gibt es dazu. Es gibt verschiedenste Formulierungen. Leider kursieren Falschaussagen, wie z.B. die Behauptung, sie sei eine Folge des Welle-Teilchen-Dualismus. Eine differenziertere Analyse und Widerlegung dieser These ist in Kapitel 4.1 Unschärfe am Spalt zu finden.

   Doch um dorthin zu gelangen, fassen wir zunächst wichtige Meilensteine auf dem Gebiet der Unschärferelation zusammen. Daraus wird auch ersichtlich, warum es sinnvoller ist, von Unschärferelationen zu sprechen.

   Ferner müssen wir in diesem Zusammenhang auch die Rolle der Wechselwirkung mikroskopischer Teilchen mit ihrer Umgebung verstehen. Ein Sonderfall stellen Messungen dar.

   Da Heisenberg in [1] auch die Netzstruktur des Phasenraums erwähnt, widmen wir uns auch diesem Thema, bevor wir dann die Unschärfe unter die Lupe nehmen, die beim Durchgang einer Welle durch einen Spalt auftritt. (Die Beweisführung ist auch beim Durchgang einer Welle durch einen Doppelspalt anwendbar. Wir überlassen diese Aufgabe dem Leser.)

   Im Mikrokosmos haben Objekte (Elementarteilchen) sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter. Die Unschärfe wird durch den Wellencharakter verursacht. De Broglie hat die Beziehung zwischen diesen beiden Eigenschaften durch zwei Gleichungen beschrieben [2]. Sie erklären die Übertragung der Unschärfe auf den Teilchencharakter eines mikroskopischen Teilchens. Offensichtlich geht bei einem Objekt im Mikrokosmos eine Änderung der Welleneigenschaft nicht spurlos am Teilchen-Charakter vorbei.

   
   

2. Historie

   
   

   2.1 Heisenberg

   
   

   Heisenberg hat seine ursprünglichen Gedanken zur Unschärfe bei Messungen im Mikrokosmos 1927 in seiner berühmten Veröffentlichung [1] klar formuliert. Er lieferte anhand von Beispielen zunächst plausible Argumente. Er gibt anschließend auch einen Beweis für die Richtigkeit seiner beiden Unschärferelationen. Er begnügt sich aber damit, eine Größenordnung des Produkts der Messungenauigkeit zweier kanonisch konjugierter Größen anzugeben. Die Größenordnung wird durch das Plancksche Wirkungsquantum h = 6.626 · 10^(-34) Js angegeben (lies 6.626 mal 10 hoch -34 JouleSekunde). Zwei kanonisch konjugierte Größen sind z.B. Ort q und Impuls p oder Energie E und Zeit t oder Ort und Ausbreitungsrichtung einer Welle. Seine 1927 angegebenen Formeln lauten gemäß seiner Notation in [1]:    

                                                    p1 · q1 ~ h   ,

   E1 · t1  ~ h   .​

   Das Produkt der beiden mittleren Fehler p1 der Impulsmessung und q1 der Ortsmessung bzw. E1 der Energiemessung und t1 der Zeitmessung liegt in der Größenordnung des Plankschen Wirkungsquantums h. Es ist somit nicht möglich, wenn der Ort eines Elektrons präzise gemessen wird, auch den Impuls präzise zu messen und umgekehrt. Ebenso fällt die Zeitmessung umso ungenauer aus je genauer die Energie bestimmt werden soll. Je genauer eine kanonisch konjugierte Größe gemessen wird, desto größer fällt der Messfehler der anderen Größe aus.

   Verallgemeinernd ist festzuhalten: Für je zwei kanonisch konjugierte Größen a und b, gilt bei Messungen hinsichtlich ihrer mittleren Fehler a1 und b1 die Unschärferelation

                                                    a1 · b1 ~ h   .

   Heisenberg formuliert diese Unschärferelationen im Zusammenhang mit Messvorgängen. Bei jeder Messung im Mikrokosmos wechselwirkt die Messapparatur mit dem zu vermessenden Objekt. Die beiden mittleren Fehler in seiner Unschärferelation sind Standardabweichungen und resultieren aus vielen Einzelmessungen. 

   Es gibt aber im Mikrokosmos Vorgänge, die sich Messbemühungen entziehen. Virtuelle Teilchen tauchen im Vakuum auf und verschwinden wieder. Ein Einzelereignis ist nicht messbar. Sehr wohl sind aber Effekte messbar, die aus der Wechselwirkung jedes virtuellen Teilchens mit der Umgebung und dem Zusammenwirken vieler virtueller Teilchen resultieren. Zu diesen Effekten gehört die Vakuumpolarisation und die Selbstenergie, die sich in den Bindungsenergien der Atomzustände niederschlagen [5]. Mit dem Kasimir-Effekt sind sogar Auswirkungen im Makrokosmos messbar.

   Was sich sagen lässt ist: Wenn ein mikroskopisches Objekt wechselwirkt, treten Unschärfen auf. Auch dann, wenn am Objekt, das mit seiner Umgebung wechselwirkt, keine Messung durchgeführt wird. Im Falle von gezielten Messungen wechselwirkt das mikroskopische Objekt mit der Messapparatur. Dann sind mittlere Fehler ermittelbar, die einer Unschärferelation unterliegen. 

   
   

   2.2 Mandelstam/Tamm

   
   

   Mandelstam und Tamm haben 1945 aus zwei grundlegenden Relationen der Quantenmechanik eine Schwelle ermittelt, die das Produkt der Messungenauigkeiten von Energie und Zeit nicht unterschreiten kann [3].​

   ΔH · ΔT ≥ h/(4·p) = h/2 

   ΔH ist die Standardabweichung der Energiemessungen und  ΔT die Standardabweichung der Zeitmessungen. Sie entsprechen den Heisenbergschen Symbolen E1 und t1.​

   
   

   2.3 Margolus/Levitin

   
   

   Margolus und Levitin gingen 1998 der Frage nach, wie schnell ein Elektron von einem Zustand in einen dazu orthogonalen Zustand wechseln kann [4]. Überraschenderweise taucht in der Unschärferelation anstelle der Energieunschärfe E1 bzw. ΔH die mittlere Energie E auf. Für ein System mit 2 orthogonalen Zuständen und der mittleren Energie E ist t die Zeit, die das Elektron benötigt, um von einem orthogonalen Zustand in den benachbarten zu gelangen. Es gilt die Relation

                                                   t · E ≧ h/4   .

   Für ein System mit N orthogonalen Zuständen und der mittleren Energie E gilt:​​​

    t · E ≧(N-1)/N · h/2   .

   ​Allerdings handelt es sich hierbei um ein geschlossenes System. Auswahlregeln, die in einem Atom gelten, bleiben völlig unberücksichtigt. Ebenso spielt die Tatsache, dass ein Atomzustand mehrere Zerfallskanäle mit unterschiedlichen Übergangswahrscheinlichkeiten besitzen kann, keine Rolle. Die beiden Autoren übertrugen ihre Überlegungen auf makroskopische Systeme und schätzten anhand von t die Anzahl der Operationen pro Sekunde ab, die unter Zuführung von 1 Joule in einem Computer maximal möglich sind. Aus der letzten Relation folgt für sehr großes N, dass  die Schallmauer von 1/t =3 · 10^33 Operationen pro Sekunde nicht geknackt werden kann. Es stellt sich aber die Frage, wie in einem geschlossenen System Informationsverarbeitung stattfinden soll, das von außen keinen Zugriff zulässt. Hierzu müssen offene Systeme untersucht werden.

   
   

   2.4 Neue Unschärferelation

   
   

   Ich habe für Atome, die von außen mit einem Laser beeinflusst werden, also für bei Bedarf offene Systeme, ebenfalls eine Schwelle ermittelt [5]. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung führt auf die Unschärferelation:​

   

   Der Stärke des elektrischen Feldes sind Grenzen gesetzt. Aber durch Erhöhung der elektrischen Feldstärke kann die Schwelle auf der rechten Seite der Unschärferelation abgesenkt werden. Das Übergangselement selbst ist eine intrinsische Eigenschaft des Atoms. Je größer dessen Betrag, desto kleinere Umschaltdauern sind realisierbar. Je kleiner der Betrag, desto länger dauert die Umschaltung. Umschaltfrequenzen sind in [5] zu finden. Sie liegen um viele Größenordnungen unter der von Margolus und Levitin angegebenen. Offensichtlich bremsen bzw. verbieten Auswahlregeln, den Wechsel eines Elektrons von einem orthogonalen Zustand in einen anderen orthogonalen Zustand eines Atoms. Insbesondere nehmen Wechsel zwischen metastabilen Zuständen, sie sind geeignet, Information länger zu speichern, relativ viel Zeit in Anspruch. Wie die Umschaltstrategien in einem solchen Fall aussehen, wird in [5] erläutert.​

   
   

3. Messungen

   
   

   Messungen physikalischer Größen sind mit Ungenauigkeiten verknüpft. Im Mikrokosmos, dort wo die zu messenden Objekte klein sind, stört jede Art von Messung den Zustand des mikroskopischen Objektes drastischer als Messungen großer Objekte in der Makrowelt. Versuchen wir den Ort q (Wir greifen wieder die Heisenbergsche Notation auf.) des Elektrons im Wasserstoffatom zu messen, gelingt das umso besser, je kleiner die Skala des angelegten Maßstabs ist. Mit dem Anlegen eines Metermaßes kommen wir nicht weiter. Heisenberg schlägt theoretisch ein Gammastrahl-Mikroskop vor. Die hierbei benutzte elektromagnetische Strahlung hat Wellenlängen bis unterhalb des Pikometerbereichs. Der Ort des Elektrons ließe sich auf Bruchteile billionstel Meter genau bestimmen (< 10^(-13) m). Im Grunde genommen müßte für eine genauere Lokalisierung des Elektrons eine noch kurzwelligere elektromagnetische Strahlung ​verwendet werden. Durch Messungen an vielen

   z. B. im Grundzustand präparierten Atomen eines Elements ließe sich eine Punktwolke um den Kern konstruieren. Die daraus berechnete Dichteverteilung entspricht dem Betragsquadrat der Lösung der Schrödinger-Gleichung für dieses Atom im Grundzustand.

   Am Beispiel des Wasserstoffatoms im Grundzustand gibt die nachfolgende Abbildung farblich codiert die modifizierte Wahrscheinlichkeitsdichte                                                       |Ψ(r,ϑ,φ)|^2 · r^2 · sin(ϑ)

   an. r ist der Abstand zum Kern, φ der Azimutwinkel und ϑ der Elevationswinkel. Die Wahrscheinlichkeitsdichte

     |Ψ(r,ϑ,φ)|^2

   wird mit den metrischen Koeffizienten der Kugelkoordinaten multipliziert. Der Kern sitzt auf der Abszisse. Die Verteilung ist rotationssyametrisch bzgl. des Azimutwinkels φ. Für ein beliebiges φ∈[0,2·π] kann aus der Abbildung die reduzierte Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort (r,ϑ,φ) entnommen werden. n=1 ist der Grundzustand. l=0 ist der Drehimpuls. m=0 ist die magnetische Quantenzahl. Der Kernabstand ist in der Einheit Bohr-Radius

   aB =5.292 · 10^(-11) m angegeben. Das Elektron hält sich bevorzugt im Abstand von einem Bohr-Radius zum Kern auf. Es ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% in einer Kugel mit Radius 4 · aB anzutreffen.

   

   
   

   3. 1 Ort- uns Impulsunschärfe

   
   

   Den mittleren Fehler bei der Bestimmung des Ortes q bezeichnet Heisenberg mit q1. Allerdings ist die Energie der Strahlung umso höher, je kurzwelliger die Strahlung ist. Ein Photon dieser Strahlung, das am Elektron gestreut wird, verändert dessen Impuls p durch einen Stoß umso stärker, je kurzwelliger die Strahlung ist. Eine sich anschließende Messung des Impulses wird umso ungenauer, je größer der Impulsübertrag bei der Ortsmessung, d.h. je genauer die Ortsmessung war. Diese Änderung des Impulses macht es, selbst mit noch so hochauflösenden Messapparaturen, unmöglich, den ursprünglichen Impuls des Elektrons, so wie er unmittelbar vor der Ortsmessung vorlag, korrekt zu bestimmen. Die Impulsänderung bei der Ortsmessung entspricht einem mittleren Fehler. Heisenberg nennt ihn p1. Wird versucht, den Ort des Elektrons genau zu messen, den Fehler q1 klein zu halten, fällt die durch die Ortsmessung verursachte Impulsänderung p1 groß aus. Umgekehrt verursacht eine genaue Impulsmessung mit kleinem p1 eine größere Veränderung des Orts und somit einen größeren mittleren Fehler q1.

   Heisenberg gibt auch ein ausführliches Beispiel, die Beschreibung eines Teilchens durch ein 1-dimensionales Gauß-Paket. Die Fläche des Pakets ist 1.

   D. h., das Teilchen ist mit der Wahrscheinlichkeit 1 in dem eindimensionalen Raum anzutreffen. Das zeitliche Zerfließen des Pakets muss jeder Physikstudent in der Quantenmechanik als Übungsaufgabe analysieren. Die beiden mittleren Fehler entsprechen in diesem Beispiel Standardabweichungen und es ergibt sich unter Berücksichtigung aller Faktoren für ein normiertes Gauß-Paket in einer Dimension:​                                                      

   

   wobei die beiden Größen auf der linken Seite Standardabweichungen aufeinander folgender Orts- und Impulsmessungen längs einer Dimension (x-Richtung) sind. Die genaue Formulierung der Unschärferelation für ein 3-dimensionales Gauß-Paket ist in [5] zu finden. Für jede einzelne Raumdimension gilt eine entsprechende Ungleichung. Zusammengefasst gilt, wenn wir das Symbol • für das Skalarprodukt einführen:​

   

   
   

   3.2 Phasenraum

   
   

   3.2.1 Ort und Impuls

   
   

   Impuls p und Ort q spannen ein Koordinatensystem auf, den so genannten Phasenraum. Über diesen Raum denken wir uns ein Gitter gelegt. Jedes Gitterelement hat die Fläche h = 6.626 · 10^(-34) Js. Das ist das Plancksche

   Wirkungsquantum. 

   

   Die von Heisenberg angegebene Unschärferelation besagt nun, dass das Produkt der beiden mittleren Messfehler p1 und q1 in der Größenordnung der Fläche eines Gitterelements liegt. Ein feinmaschigeres Netz lässt die Natur nicht zu.

   
   

   3.2.2 Energie und Zeit

   
   

   Laut Einstein gibt es ein Raum-Zeit-Kontinuum. Die Zeit t wird als 4. Dimension betrachtet. Sie spannt mit E eine Ebene auf. Denken wir uns über diese Ebene wieder ein Gitter mit der Gitterelementfläche h gelegt, dann entspricht das Produkt der beiden mittleren Fehler E1 und t1 in der Energie-Zeit-Unschärferelation Heisenbergs der Fläche eines Gitterelements.

   

   Offensichtlich setzt die Natur eine Schranke, und erlaubt bei Messungen kanonisch konjugierter Größen nur einen Blick bis auf ungefähr ein Gitterelement der Größe h zu werfen.

   In der digitalen Bildverarbeitung gibt es ein vergleichbares Gesetz, das sogenannte Johnson-Kriterium. Die kleinste Einheit eines digitalen Bildes ist ein Rasterelement, das Pixel. Die Möglichkeit, ein Objekt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu detektiern oder ein Objekt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu erkennen, wird jeweils durch eine bestimmte Anzahl von Bildrasterelementen begrenzt. Die Vermutung liegt nahe, dass auch die Natur eine Rasterstruktur besitzt [5].

   
   

4. Unschärfe am Spalt

   Wir zeigen im Folgenden, dass auch eine Unschärferelation greift, wenn eine Welle mit einer Messvorrichtung wechselwirkt. Es bedarf dazu keines Welle-Teilchen-Dualismus. In der Abbildung wechselwirkt eine sinusförmige ebene Welle mit einem Spalt. Der Kasten links oben in der Abbildung fasst die Größen zusammen, die zur Analyse erforderlich sind. Es sind nur Welleneigenschaften wie die Schwingungsdauer T und die Wellenlänge lambda erforderlich. Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Wellenvektor bzw. Wellenzahl k hängen davon ab.

   

   Der Spalt dient als Messvorrichtung für die Bestimmung des Orts, durch den die Welle hinter den Spalt gelangt. Ein sehr breiter Spalt wird die Wellle nicht sonderlich in ihrer Ausbreitungsrichtung beeinflussen. Eine Beugung erfolgt lediglich an den beiden weit auseinanderliegenden Spaltenden. Ansonsten geht ein Großteil der Welle mittig ungebeugt durch den Spalt. Ein sehr schmaler Spalt hingegen beugt die Welle an den beiden dicht beieinanderliegenden Enden. Die Ausbreitungsrichtung der Welle ändert sich massiv. Wir sehen, dass Ortsmessung und Ausbreitungsrichtung hinter dem Spalt sich gegensietig beeinflussen.

   Bei Bestrahlung mit Licht (Wir benutzen nur die Welleneigenschaften des Lichts.) ist hinter dem Spalt ein Streifenmuster mit hellen und dunklen Streifen zu beobachten. Unter dem Winkel ϑ sei der erste dunkle Streifen zu beobachten. Strahlen, die sich unter diesem Winkel ausbreiten, löschen sich gegenseitig aus. In der Abbildung ist diese Situation rechts oben vergrößert dargestellt. Jeder Strahl innerhalb des grünen Strahlbündels findet einen Partnerstrahl im pinkfarbenen Strahlbündel mit einem Gangunterschied von λ/2 . So z.B. grüner Strahl 1 und pinkfarbener Strahl 1 oder grüner Strahl n und pinkfarbener Strahl n. So trifft Wellenberg auf Wellental. Eine Auslöschung ist die Folge. 

   Der Einfall der Welle erfolgt längs des x-Achse. Der zugehörige Wellenvektor ist (k,0,0). Das Strahlbündel, das den 1. dunklen Streifen erzeugt, wird um den Winkel ϑ von dieser Ausbreitungsrichtung abgelenkt. Der Ablenkungsvektor ist (0, Δk ,0). Für den Ablenkungswinkel gilt somit

   

   Über die vergrößerte Darstellung des Spalts rechts oben in der Abbildung finden wir

   

   wobei Δy die halbe Spaltbreite ist. Benützen wir eine der beiden Gleichungen, um den sin(ϑ) in der anderen zu eliminieren, erhalten wir 

   

   oder Δk·Δy=(λ·k)/2=π. Für alle weitere Dunkelstreifen nimmt Δk zu. Es gilt folglich ganz allgemein: Δk·Δy≧π. Wird die halbe Spaltbreite Δy verkleinert, die Bestimmung des Ortes somit genauer, wird die Bestimmung der Ausbreitungsrichtung ungenauer. Soll die Ausbreitungsrichtung genauer bestimmt werden, muss die Spaltbreite vergrößert werden. Die Ortsbestimmung wird ungenauer. Diese Unschärferelation setzt keinen Teilchencharakter voraus. Sie basiert allein auf Welleneigenschaften. 

   Nun sind im Mikrokosmos Objekte beheimatet, von denen 2 komplementäre Charakteristika durch Messungen bekannt sind. Die unglücklicherweise Elementarteilchen genannten Objekte besitzen, das folgt aus den Messungen, Teilchen- und Welleneigenschaften. Daraus zu schließen, dass über diese Objekte die volle Information vorliegt, ist sehr gewagt. 

   Im Makrokosmos gibt es einen vergleichbaren Fall. Die Abbildung einer 3D-Welt auf eine Bildebene, das ist eine Projektion (Messung) von 3D auf 2D, geht mit einem Verlust an Information einher. Wird aus einer anderen Perspektive das 3D-Szenarium betrachtet, erhält man ein zweites 2D-Bild mit komplementärer Information. Anhand beider Bilder kann ein Anaglyphenbild konstruiert werden, das wieder den ursprünglichen 3D-Eindruck vermittelt. Mittels Triangulation kann aus den beiden komplementären Bilder eine 3D-Punktwolke rekonstruiert werden, aber unvollständig. Ein Besucher in dieser rekonstuierten 3D-Welt wird feststellen, dass Lücken klaffen. Eine Erhöhung der Punktdichte in der Wolke erfordert weitere komplementäre Bilder aus anderen Perspektiven.

   
   

5. De Broglie

   
   

   De Broglie gibt in [2] eine Gleichung an, wie Teilchen- und Welleneigenschaften eines Objekts im Mikrokosmos miteinander zusammenhängen. Der Wellenvektor k=(k1,k2,k3) legt den Impuls p=(p1,p2,p3) des Objekts fest:

                                 p=ħ·k .                           

   ​Jetzt sehen wir, dass sich die Unschärfe, die beim Spaltexperiment über die Welleneigenschaft zustande kam, bei einem mikroskopischen Objekt mit Welle-Teilchen-Eigenschaft auch auf dessen Teilcheneigenschaft auswirkt. Die im Bild angegebene Unschärferelation der Wellenausbreitung lautet mit ħ multipliziert:

   ​                                     ħ·Δk·Δy ≥ ħ·π = h/2 ,                          

   woraus die Unschärferelation für die Teilcheneigenschaft resultiert:

                                           Δp·Δy ≥  h/2 .                                              

   Dieses Beispiel, ebenso wie das Doppelspaltexperiment, zeigen, dass der Welle-Teilchen-Dualismus nicht ursächlich für die Unschärfe ist. Er überträgt lediglich die Unschärfe in der Wellenausbreitung auf den Teilchencharakter eines Objektes im Mikrokosmos. Oder anders formuliert: Die Unschärfe, die auf die Welleneigenschaft zurückzuführen ist, beeinflusst auch die Teilcheneigenschaft eines mikroskopischen Objekts, das sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaft besitzt. 

   
   

6. Thematische Vertiefung

   Eine Vertiefung dieses Themas ist in [5] zu finden. Das Buch umfasst annähernd 1000 Seiten mit 196 Abbildungen und 66 Tabelle. Es führt den Leser nahezu bei Null beginnend in die Speicherung von Information in Atomen ein. Die Unschärferelation ist darin eines von vielen sehr ausführlich präsentierten Themen. Meine Homepage quanten-speicher.com listet eine ausführliche Inhaltsangabe. Dieses Buch ist nur über DCS oder direkt bei mir erhältlich.

   Für notwendige Informationen zum Bezug möchte ich Interessierte auf das Impressum auf der Homepage verweisen.

   
   

7. Literatur

   [1] W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43, p 172 – 198, 1927.

   [2] Louis de Broglie, Recherche sur la theorie des quanta, 10e serie, tome III, Janvier-Février 1925.

   [3] L. Mandelstam, Ig. Tamm, The Uncertainty Relation beteen Energy and Time in Non-Relatvistic Quantum Mechanics, Journal of Physics IX, No 4, p 249-254, 1945.

   [4] N. Margolus, Lev. B. Levitin, The maximum speed of dynamical evolution, Physica D  120, p 188 – 195, 1998.

   [5] R. Bader, Von klassischen Informationsspeichern zu atomaren für Quantencomputer, Mit Einführungen in verschiedene Disziplinen der Physik und einer Vertiefung in die angewandte Quantenmechanik, ISBN 978-3-940140-32-6, 1. Auflage, DCS Druck & Copier-Service, Überlingen am Bodensee, 2022.